TUYỂN TẬP 100 Đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh CÓ ĐÁP ÁN

• Cho các số thỏa mãn các điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải:

.

• Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh:

Lời giải:

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ :

Ta có

Chứng minh tương tự  và

Do đó

Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy .

• Giải phương trình:

Lời giải:

ĐKXĐ:

Giải phương trình:  ĐKXĐ:

Giải phương trình:  ĐKXĐ:  và

(pt vô nghiệm)

Vậy .

• Cho đường tròn , đường kính cố định. Gọi  là điểm di động trên  khác  và , vẽ đường kính  của đường tròn . Tiếp tuyến tại  của đường tròn  cắt hai đường thẳng  lần lượt tại  và . Gọi  là trung điểm của đoạn thẳng  là giao điểm của hai đường thẳng  và .

1. a) Chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
2. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định khi di động trên đường tròn .

Lời giải:

1. a) Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

Ta có  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(Hệ thức lượng)

Xét  và  có:

chung,  (cmt)

(c-g-c)

(góc t/ư)

tứ giác  nội tiếp (góc ngoài = góc đối trong) (1)

(góc t/ư)  nội tiếp ( 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn.)

(g-g)

(c-g-c)  (góc t/ư)

DKCE nội tiếp (2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn.) (2)

Từ  suy ra 5 điểm  cùng thuộc một đường tròn.

1. b) Chứng minh I luôn thuộc một đường thẳng cố định

Kẻ ,  cắt  tại . Gọi  là trung điểm của .

lần lượt là trung điểm của  (đường trung bình ).

Mà  (3)

là trung điểm  (t/c trung tuyến thuộc cạnh huyền)

(bán kính đường tròn  là đường trung trực của  (4)

Từ (3), (4)  (cùng vuông góc với )

Chứng minh tương tự  (cùng vuông góc với )

IHOL là hình bình hành (các cạnh đối song song)

là trung điểm của  (c/h-g/n)

(không đổi)

nằm trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại  của đường tròn  và cách tiếp tuyến tại  một khoảng không đổi .

• Qua điểm thuộc cạnh  của  ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh ; chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của  để hình bình hành đó có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng qua  song song với  cắt  tại  Đường thẳng qua  song song với  cắt  tại  Gọi  lần lượt là diện tích

(Bđt Cauchy)

. (const)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  là trung điểm của .

Vậy .

• Tìm tất cả các cặp số tự nhiên với  sao cho  là ước của

Lời giải:

Ta có

Để

mà  và

Trường hợp

Trường hợp

Thử lại thỏa mãn

Trường hợp

luôn đúng với mọi

Vậy các cặp số tự nhiên  thỏa mãn là  với .

Download file đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh

Thầy cô download file theo links.

DOWNLOAD FILE