• Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.
• Mỗi đơn thức trong tổng gọi là hạng tử của đa thức đó.

3. Phân Thức đại số.
a. Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
b. Phân thức bằng nhau: nếu A.D = B.C.
c. Tính chất cơ bản
* (M là một đa thức khác đa thức 0)
* (N là một nhân tử chung)
– Quy tắc đổi dấu :
d. Rút gọn phân thức: Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
e. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
4. Cộng, trừ phân thức.
a) Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
b) Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu: Muốn cộng hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:
– Quy đồng mẫu thức.
– Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
* Chú ý: Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:
+ Giao hoán:
+ Kết hợp:
+ Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Ví dụ: và là hai phân thức đối nhau.
* Chú ý: và
+ Quy tắc đổi dấu :
5. Nhân, chia phân thức.
– Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

– Muốn chia phân thức cho phân thức (C khác đa thức không), ta nhân phân thức với phân thức

* Chú ý: Phép nhân các phân thức có các tính chất sau:
+ Giao hoán:
+ Kết hợp:
+ Phân phối đối với phép cộng:
6. Thu thập và phân loại dữ liệu.
* Dữ liệu định tính được chia thành hai loại:
– Dữ liệu định danh là dữ liệu thể hiện cách gọi tên. Ví dụ: giới tính, màu sắc, nơi ở, nơi sinh, … – Dữ liệu biểu thị thứ bậc là dữ liệu thể hiện sự hơn kém. Ví dụ mức độ hài lòng, trình độ tay nghề, khối lớp, …
Dữ liệu định lượng nhận giá trị thực và được chia thành hai loại:
– Loại rời rạc là dữ liệu chỉ nhận hữu hạn giá trị hoặc biểu thị số đếm. Ví dụ: cỡ giày, số học sinh, số ngày công, số vật nuôi,
– Loại liên tục là dữ liệu có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng nào đó. Ví dụ chiều dài, khối lượng, thu nhập, thời gian,
* Có thể kiểm tra định dạng của dữ liệu hoặc mỗi liên hệ toán học đơn giản giữa các số liệu thống kê để nhận biết tính hợp lí của dữ liệu và các kết luận dựa trên các dữ liệu thống kê để nhận biết tính hợp lí của dữ liệu và các kết luận dựa trên các dữ liệu thống kê đó.
7. Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu.
Biểu đồ cho chúng ta hình ảnh cụ thể về số liệu. Việc chọn loại biểu đồ phù hợp sẽ giúp chúng ta thể hiện số liệu thống kê một cách rõ ràng, trực quan, dễ đọc và dễ hiểu.
– Ta thường chọn biểu đồ tranh khi số liệu ở dạng đơn giản và muốn tạo sự lôi cuốn, thu hút bằng hình ảnh.
– Với những số liệu phức tạp hơn, số liệu lớn, sự sai khác giữa các số liệu cũng lớn và để thuận tiện trong việc so sánh thì ta thường chọn biểu đồ cột.
– Nếu muốn có sự so sánh một cách trực quan từng cặp số liệu của hai bộ dữ liệu cùng loại, người ta ghép hai biểu đồ cột thành một biểu đồ cột kép.
– Để biểu thị tỉ lệ phần trăm của từng loại số liệu so với toàn đồ hình quạt tròn. thể, ta thường sử dụng biểu đồ hình quạt tròn.
– Khi biểu diễn sự thay đổi số liệu của một đối tượng theo thời gian, ta thường dùng biểu đồ đoạn thẳng.
Một tập dữ liệu có thể biểu diễn dưới các dạng khác nhau. Chuyển đổi dữ liệu giữa các dạng giúp công việc thuận lợi và đạt hiệu quả hơn.
B. BÀI TẬP MINH HOẠ :
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1. Mẫu thức chung của hai phân thức là
A. x(x – 3). B. x. C. x – 3 . D. x(x + 3).
Câu 2. Dạng rút gọn của phân thức là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?
A. . B. . C. .
Câu 4. Phân thức đối của phân thức là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Kết quả của phép tính là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Kết quả của phép tính là
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Kết quả của phép tính là
A. . B. x – 3. C. . D. .
Câu 8. Thân nhiệt (°C) của bạn An trong cùng khung giờ 7h sáng các ngày trong tuần được ghi lại trong bảng sau:

Bạn An đã thu được dữ liệu trên bằng cách nào?
A. Xem tivi; B. Lập bảng hỏi;
C. Ghi chép số liệu thống kê hằng ngày; D. Thu thập từ các nguồn có sẵn như: sách, báo, web.
Câu 9. Một số con vật sống trên cạn: cá voi, chó, mèo, ngựa. Trong các dữ liệu trên, dữ liệu chưa hợp lí là
A. Cá voi. B. Chó. C. Mèo. D. Ngựa.
Câu 10. Chọn phát biểu đúng.
A. Chỉ khi biểu diễn dữ liệu trên bảng mới giúp ta có cái nhìn trưc quan về dữ liệu.
B. Chỉ khi biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ mới giúp ta có cái nhìn trưc quan về dữ liệu.
C. Biểu diễn dữ liệu trên bảng và biểu đồ giúp ta có cái nhìn trực quan về dữ liệu.
D. Biểu diễn dữ liệu trên bảng và biểu đồ không giúp ta có cái nhìn trưc quan về dữ liệu.
Câu 11. Bạn Minh ghi chép điểm Toán của các bạn trong tổ 1 của lớp 8A trong bảng dưới.

Hãy cho biết có bao nhiêu bạn được trên 7 điểm, đạt loại khá giỏi?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
II. Phần tự luận
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Bài 2. Thực hiện phép tính:
a) b) c) d)
e) f) g)
Bài 3: Cho phân thức
a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức
b) Tìm x để giá trị của phân thức bằng 2
c) Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên.
Bài 4. Tìm x, biết
a) c)
b) d)
PHẦN THỐNG KÊ
DẠNG 1: THU THẬP DỮ LIỆU – PHÂN LOẠI DỮ LIỆU
Bài 1: Bạn Tú đã tìm hiểu về năm quốc gia có số huy chương vàng cao nhất ở SEA Games 31
từ bảng thống kê sau:
Vàng Bạc Đồng Tổng
Vietnam 205 125 116 446
Thailand 92 103 137 332
Indonesia 69 91 81 241
Philippines 52 70 105 227
Singapore 47 46 73 166
(Nguồn: https://seagames2021.com)
a/ Em hãy giúp bạn Tú tìm thông tin để hoàn thiện biểu đồ sau vào vở:
b/ Theo em, bạn Tú đã dùng phương pháp nào trong các phương pháp sau để thu thập dữ
liệu?
Bài 2: Em hãy đề xuất phương pháp thu thập dữ liệu cho các vấn đề sau:
a/ Sản lượng gạo và cà phê xuất khẩu của Việt Nam trong bốn năm gần nhất.
b/ Ý kiến của học sinh khối 8 về chất lượng bữa ăn bán trú.
Bài 3: Sử dụng phương pháp thích hợp để thu thập dữ liệu và lập bảng thống kê dân số các tỉnh
Tây Nguyên: Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng.
Bài 4: Em hãy đề xuất phương pháp thu thập dữ liệu và lí giải về việc lấy ý kiến học sinh lớp
em đối với các tiết mục văn nghệ dự thi “Giai điệu tuổi hồng” của lớp.
Bài 5: Thông tin về 5 bạn học sinh trong câu lạc bộ cầu lông của trường Trung học cơ sở Quang
Trung tham gia giải đấu của tinh được cho bởi bảng thống kê sau:
a/ Phân loại các dữ liệu trong bảng thống kê trên dựa trên hai tiêu chí định tính và định
lượng.
b/ Trong số các dữ liệu định tính tìm được, dữ liệu nào có thể so sánh hơn kém?
c/ Trong số các dữ liệu định lượng tìm được, dữ liệu nào là số đếm?
Bài 6: Cho các loại dữ liệu sau đây:
+ Môn thể thao yêu thích của một số bạn học sinh lớp 8C: bóng đá, cầu lông, bóng
chuyền,..
+ Chiều cao (tính theo cm) của một số bạn học sinh lớp 8C: 152,7; 148,5; 160,2; …
+ Xếp loại học tập của một số bạn học sinh lớp 8C: tốt, chưa đạt, đạt, khá, …
+ Điểm kiểm tra môn Toán của một số bạn học sinh lớp 8C: 5; 10; 8; 4; …
+ Trình độ tay nghề của các công nhân trong phân xưởng A gồm các bậc: 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7.
a/ Tìm dữ liệu định tính và dữ liệu định lượng trong các dữ liệu trên.
b/ Trong số các dữ liệu định tính tìm được, dữ liệu nào có thể so sánh hơn kém?
c/ Trong số các dữ liệu định lượng tìm được, dữ liệu nào là rời rạc? Vì sao?
Bài 7: Cho các loại dữ liệu sau đây:
+ Danh sách một số loại trái cây: cam, xoài, mít, …
+ Khối lượng (tính theo g) của một số trái cây: 240; 320; 1200; …
+ Độ chín của trái cây: rất chín, vừa chín, hơi chín, còn xanh, …
+ Hàm lượng vitamin C (tính theo mg) có trong một số trái cây: 95; 52; 28; …
+ Mức độ tươi ngon của trái cây: loại 1, loại 2, loại 3.
a/ Tìm dữ liệu định tính và dữ liệu định lượng trong các dữ liệu trên.
b/ Trong số các dữ liệu định tính tìm được, dữ liệu nào có thể so sánh hơn kém?
c/ Trong số các dữ liệu định lượng tìm được, dữ liệu nào là liên tục?
DẠNG 2: XÉT TÍNH HỢP LÍ
Bài 1: Tìm những điểm chưa hợp lí trong bảng dữ liệu sau:
Thống kê số học sinh lớp 8A2 tham gia câu lạc bộ thể thao
(mỗi học sinh chỉ tham gia một câu lạc bộ)
Câu lạc bộ thể thao Số học sinh
Bóng bàn 12
Cầu lông 15
Bóng rổ Nhiều học sinh tham gia
Đá cầu 120

Bài 2: Bảng thống kê sau cho biết tỉ số phần trăm lựa chọn đối với bốn nhãn hiệu tập vở trong
số 200 học sinh được phỏng vấn.
Nhãn hiệu tập vở ghi bài Tỉ số phần trăm
A 40%
B 45%
C 10%
D 5%
Xét tính hợp lí của các quảng cáo sau đây đối với nhãn hiệu tập vở A:
a/ A là nhãn hiệu được đa số học sinh chọn.
b/ A là nhãn hiệu có tỉ lệ học sinh lựa chọn cao nhất.
c/ A là một trong những nhãn hiệu có tỉ lệ được chọn cao nhất.
Bài 3: Bảng thống kê sau cho biết dữ liệu về hoạt động trong giờ ra chơi của học sinh lớp 8A1
(mỗi học sinh chỉ thực hiện một hoạt động).
Nêu nhận xét của em về tính hợp lí của các dữ liệu trong bảng thống kê trên.
Bài 4: Thị phần của một sản phẩm là phần thị trường tiêu thụ mà sản phẩm đó chiếm lĩnh so với
tổng số sản phẩm tiêu thụ của thị trường. Bảng thống kê sau cho biết tỉ số phần trăm thị
phần của 4 loại bút trên thị trường.
Loại bút Tỉ số phần trăm
X 10%
Y 20%
Z 40%
T 30%
Xét tính hợp lí của các quảng cáo sau đây đối với nhãn hiệu bút Z:
a/ Là loại bút được mọi người dùng lựa chọn.
b/ Là loại bút chiếm thị phần cao nhất.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
ĐỊNH LÍ PYTHAGORE
1. Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
vuông tại .

2. Định lý Pythagore đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

TỨ GIÁC
Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng .
HÌNH THANG-HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa.

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

2. Tính chất.
Trong hình thang cân:

• Hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường chéo bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết.

• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Chẳng hạn hình thang như hình bên.
HÌNH BÌNH HÀNH-HÌNH THOI
HÌNH BÌNH HÀNH
1. Định nghĩa.

• Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
• là hình bình hành .

2. Tính chất.
Trong hình bình hành:

• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết.

• Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

HÌNH THOI
1. Định nghĩa

• Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
• Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi

• Nhận xét: hình thoi là một hình bình hành đặc biệt.

2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Trong hình thoi:

• Hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi mà nó đi qua.

3. Dấu hiệu nhận biết

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh mà nó đi qua là hình thoi.

HÌNH CHỮ NHẬT-HÌNH VUÔNG
HÌNH CHỮ NHẬT
1. Định nghĩa

• Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
• Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình bình hành, cũng là hình thang.
2. Tính chất

• Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.
• Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.
• Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác vuông

• Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
• Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

HÌNH VUÔNG
1. Định nghĩa

• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
• Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi

Nhận xét:

• Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình vuông là hình thoi có bốn góc bằng nhau.

Do đó hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.
2. Tính chất

• Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
• Tính chất đặc trưng: Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông.
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Nhận xét: Nếu một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
B. BÀI TẬP MINH HOẠ:
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là
A. hình bình hành. B. hình thang cân.
C. hình thang. D. hình thoi.
Câu 2. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là
A. hình thoi. B. Hình thang. C. hình chữ nhật.
Câu 3. Hình bình hành có một góc vuông là
A. hình thoi. B. hình thang. C. hình chữ nhật.
Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là
A. hình thang cân. B. hình bình hành.
C. hình chữ nhật.
Câu 5. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là
A. hình bình hành. B. hình thang cân. C. hình thang.
Câu 6. Hình bình hành là
A. tứ giác có hai cạnh đối song song.
B. tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.
C. tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
D. tứ giác có các cạnh đối song song.
Câu 7. Hình chữ nhật là hình bình hành có
A. hai đường chéo vuông góc. B. các góc đối bằng nhau.
C. hai đường chéo bằng nhau. D. các cạnh đối bằng nhau.
Câu 8. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là
A. hình thoi. B. hình thang. C. hình chữ nhật.
II. Phần tự luận
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD . Biết góc . Tính và .
Bài 2:Tính chiều cao của bức tường. Biết chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường là 1m.

Bài 3: Người ta sử dụng một cái thang để leo lên một bức tường , biết rằng đầu thang tiếp xúc với vị trí cao nhất của bức tường, lúc này chân thang cách bức tường một đoạn . Tính chiều dài của cái thang (kết quả làm tròn một chữ số thập phân)

Bài 5 Một cây tre bị gió bão quật gãy (hình vẽ bên). Biết chiều cao từ gốc cây đến chỗ bị gãy là 3m, khoảng cách từ gốc đến vị trí ngọn chạm đất là 4m. Hãy tính chiều cao của cây tre lúc chưa bị gãy?

Bài 5. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài 6. Cho ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành.
Bài 7. Cho ABC vuông tại A, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với I qua AC. Gọi O là giao điểm của AC và DI.
a) Chứng minh OA = OC.
b) Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
c) Chứng minh tứ giác ADIB là hình bình hành.
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.
c) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD.
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.
Bài 9. Cho nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh: Tứ giác ANBH là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia HB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE. Gọi F là điểm đối xứng với A qua H. Tứ giác ANHE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi I là giao điểm của AH và NE. Chứng minh: MI//BC
d) Đường thẳng MI cắt AC tại K. Kẻ tại Q. Chứng minh: