1. Nghiệm đơn vô tỷ

Nghiệm đơn vô tỷ[latex] x = a[/latex] là một nghiệm vô tỷ của một đa thức P(x) (thông thường ở dạng bâc 2) và một phương trình f(x) = 0 có thể được phân tích nhân tử dưới dạng.
Ví dụ xét phương trình: [latex]x^{2}-1-sqrt{x+1}=0[/latex]

2. Nghiệm kép vô tỷ

Nghiệm kép vô tỷ [latex]x = a [/latex]là một nghiệm vô tỷ của một đa thức P(x) (thông thường ở dạng bâc 2) và một phương trình [latex]f(x) = 0[/latex] có thể được phân tích nhân tử dưới dạng [latex][P(x)]^2g(x)=0[/latex]
Ví dụ xét phương trình: [latex]x^{2}+3x+2=xsqrt{x+1}+(x+1)sqrt{3x+2}[/latex]

Ta thấy phương trình không có một giá trị nào đổi dấu (ta có cảm giác gần như vô nghiệm). Nhưng thực ra không hẳn vậy, bởi nếu như là một nghiệm vô tỷ và hàm số tiếp xúc với trục hoành (nghiệm kép) thì TABLE không thể thể hiện được nghiệm, và thay vào đó ta nhận thấy điểm thấp nhất trong bảng giá trị đó là , tại đây ta dự đoán: Phương trình có nghiệm kép vô tỷ với giá trị rất gần với [latex]x = 1,5[/latex]

Vậy các liên hợp cần tạo ra là [latex]{left( {x – sqrt {x + 1} } right)^2},{left( {x + 1 – sqrt {3x + 2} } right)^2}[/latex]

Chú ý: Vì là nghiệm kép nên liên hợp phải có chứa bình phương