Chuyên đề toán lớp 6: Chứng minh nguyên tố cùng nhau CÓ ĐÁP ÁN được yopovn sưu tầm, chia sẻ. Chứng minh nguyên  tố cùng nhau, Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước chung lớn nhất là 1 . Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn …

Chuyên đề toán lớp 6: Chứng minh nguyên tố cùng nhau CÓ ĐÁP ÁN

1. Phương pháp:

Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng  dùng   hai phương pháp sau:

• Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = 1.

Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên  tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Giải:  Gọi  hai số lẻ liªn tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 (n  N). Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d.

Suy ra 2n + 1  d; 2n + 3  d. Vậy  (2n + 3) – ( 2n + 1)  d hay 2  d, suy ra d  { 1 ; 2 }. Nhưng d  2 vì d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

• Phương pháp 2: Ta dïng phương pháp phản chứng

Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách  suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước.

Ví dụ: Cho (a, b) = 1. Chứng minh rằng ab và a + b  nguyên tố cùng nhau.

Giải: Giả sử  a + b và ab không nguyên tố cùng nhau . Do đó a + b và ab ắt phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d:

a + b   d       (1)

ab   d        (2)

Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có:

a  d  b  d

• Nếu a  d . Từ (1)  b  d

Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.

• Nếu b  d . Từ (1)  a  d

Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.

Vậy, (a,b) = 1 thì ab và a + b nguyên tố cùng nhau.

1. Bài tập

Bài 1: chứng  minh rằng  hai số tự nhiên liªn tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giải: Gọi hai số tù  nhiên liªn tiếp là n và n + 1(n  N ) .

Đặt (n, n + 1) = d  n d; n + 1  d. Do đó (n + 1) – n  d hay 1  d suy ra d = 1.

vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 2: Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên . chứng minh rằng các số a và ab + 4 nguyên tố cùng nhau.

Giải: Giả sử a và ab + 4 cùng chia hết cho một số tự nhiên d( d  0 ).

Như vậy thì ab chia hết cho d, do đó hiệu (ab + 4) – ab = 4cũng chia hết cho d. Suy ra d có thể bằng 1, 2 hay 4. Nhưng a không chia hết cho 2 và 4 vì a lẻ. Vậy d chỉ bằng 1 nên các số a và  ab+ 4 nguyên tố cùng nhau.

                  Bài 3:Cho a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh aⁿ  + bⁿ  và ab  nguyªn tè    cïng  nhau

Giải: Giả sử aⁿ  + bⁿ  và ab không nguyên tố cùng nhau.

Ta suy ra aⁿ  + bⁿ  và ab ắt phải cã một ước số chung nguyên tố d :

aⁿ  + bⁿ    d  (1)

ab    d         (2)

V× ab  d, d nguyªn tè nªn ta cã:

a  d  b  d

• NÕu a d

aⁿ  d

Ta l¹i cã aⁿ  + bⁿ    d  suy ra bⁿ    d

V× bⁿ    d, d nguyªn tè, nªn b  d

Nh­ vËy a vµ b sÏ cã mét ­íc sè chu ng nguyªn tè d, m©u thuÉn gi¶ thiÕt.

• NÕu b d: T­¬ng tù

VËy: aⁿ +b^b = 1 và  aⁿ  + bⁿ  và ab nguyên tố cùng  nhau.

• Bµi tËp t­¬ng tù
• Cho a,b,c nguyªn tè cïng nhau. Chøng minh r»ng :

ab + bc + ca , a + b + c, abc nguyªn tè cïng nhau

• Cho (a,b) = 1. Chøng minh 5a +3b vµ 13a + 8b nguyªn tè cïng nhau.
• Cho a,b nguyªn tè cïng nhau. Chøng minh r»ng  aⁿ  vµ b nguyªn tè cïng nhau
• Chøng minh r»ng víi mäi n kh¸c 0 th× sè 3n + 1 vµ 4n + 1 nguyªn tè cïng nhau.

Download file chứng minh nguyên tố cùng nhau

DOWNLOAD FILE

Với chia sẻ Chứng minh nguyên tố cùng nhau, chuyên đề toán 6 thầy cô đã có thêm tài liệu giảng dạy. Đừng quên yopovn liên tục chia sẻ tài liệu mới mỗi ngày!